Van egy kedvenc “best of” listám: 17 egyenlet, amely megváltoztatta a világot, és abban a szerencsés helyzetben vagyok, hogy mindegyikkel volt dolgom, előbb vagy utóbb, munka vagy hobbi kapcsán mind előjött. Arra gondoltam, hogy kicsit utánuk nézek, hogy pontosan miért van akkora jelentőségük azon kívül amit én értek belőlük, és talán érdekes lehet megosztani ezt másokkal. Nyugi, nem száraz matematikáról lesz szó, hanem igazán jelentős felfedezések háttérsztorijáról.

A lista első eleme a Pitagorasz-tétel. Ha esetleg valaki nem emlékszik, a tétel arról szól, hogy ha van egy derékszögű háromszög, akkor a leghosszabb oldal hosszának négyzete megegyezik a másik két oldal hosszai négyzeteinek összegével. Nagy cucc. Miért tartaná úgy bárki, hogy ez megváltoztatta a világot?

Amikor elhatároztam, hogy utánajárok, kicsit szkeptikus voltam, hogy mire is juthatok. Némi keresgélés, konzultáció, pár tucat 2500 éve élt görög fickó Wikipedia lapjának átfutása után viszont már csak kapkodtam a fejemet, hogy akkor mire mikor is jöttek rá, és mi miért volt fontos, és mi nem ment előtte, és mi vált lehetővé utána?! Végül arra jutottam, hogy joggal áll a világot megváltoztató egyenletek listájának első helyén, nem csak időben hanem fontosságban is (nélküle a lista 80%-a nem is létezne), és ha az alábbiakat végigolvassa az olvasó, akkor remélem, hogy ő is meggyőződik róla. Nem ez a személyes kedvencem a listáról, de hogy a legfontosabb mint közül, afelől már nincs kétségem.

A geometria szebb, mint az számtan

A sztori természetesen a görögöktől indul, vagy talán egy kicsit még régebbről, de azt most kihagyom. Az ókorban, meg azelőtt, a számtan mellett a geometria volt a másik nagy tudomány, amelyből a mai matematika kifejlődött. A geometriát tekintették magasabb rendűnek, elsősorban a tökéletes szépségei és szimmetriái miatt, gondoljunk csak arra, hogy mennyire nehéz belekötni egy körbe, de mennyire könnyű belekötni mondjuk az 5-ös számba: “miért nem vagy osztható 2-vel?”. És a geometriai szépségek megvalósításához számolni sem kellett nagyon. Egyetlen zsinórral meg tudjuk tervezni a Stonehange-t, ha leverünk egy karót, hozzákötjük a zsinórt, megfeszítjük és megyünk egy kört. Hasonlóan, egy darab zsinór segítségével rajzolhatunk a homokba egy tökéletes négyzetet, anélkül, hogy két számot összeadtunk vagy elosztottunk volna egymással (hogy hogyan, azt az olvasó fantáziájára bízom), s erre aztán lehet piramist építeni. A geometria valószínűleg legalább annyira ősi, mint az ujjainkon számolni, de az eredményei jobban gyönyörködtették a szemet, mint az, hogy az én két ökröm meg a te 3 ökröd az összesen az összes ujjam egy kezemen. Mondjuk amikor megjelent a számtanban a kamat, akkor némelyek azt már biztosan szebbnek találták, de ez most nem tartozik szorosan a témához, a 17-edik egyenletnél, a Black-Scholes-nál jön majd elő, de addig nagyon hosszú még az út.

A kezdetek

A nagy görög gondolkodók és filozófusok szükségképpen sokat gondolkodtak és filozofáltak a geometria szépségeiről, belső igazságairól, mit lehet és mit nem lehet csinálni a geometriában, és így tovább. Ezen gondolkodók egyike volt Pitagorasz, akiről ezt a bizonyos tételt elnevezték. Pitagorasz egyébként időszámításunk előtt 570-től 495-ig élt, azaz 75 évet, Samos szigetén született (ami ugyanarról az ősmagyar törzsfőről kapta a nevét, mint a Szamos folyónk, és még jóval azelőtt neveztük el így, hogy a babiloniakat megtanítottuk volna rovásírással írni és olvasni), de tanulmányait többek között Egyiptomban folytatta, majd végül Dél-Itáliában, Szicília környékén ténykedett, és ott is halt meg. Hogy időben jobban elhelyezzük a dolgot, ekkor a rómaiak még a fasorban sem voltak, épp elűzték utolsó királyukat és oligarchiára váltottak az egy városnyi városállamukban, Egyiptomban fáraók uralkodtak, Szicíliában és Dél-Itáliában pedig görög városállamok voltak. Nade, visszakanyarodva a tételhez, megoszlanak arról a források, hogy tényleg Pitagorasz bizonyította-e, de pár száz év múlva a Római Birodalomban már olyan természetes módon tulajdonították neki a tételt, hogy nincs okunk feltételezni, hogy nem. Az biztos, hogy az ő idejéből is fennmaradtak dokumentumok ún. Pitagoraszi-számhármasokról, olyan számokról, amelyek teljesítik a fenti egyenletet. Hogy Pitagorasz felismerte-e azt, hogy ha az egyenlet teljesül három számra, akkor létezik olyan derékszögű háromszög, amelynek pont ilyen hosszúak az oldalai, abban nem lehetünk biztosak, de valószínűleg igen.

A matematikai gondolkodás

Mielőtt rátérnénk a tétel fontosságára, talán érdemes egy rövid kitekintést tenni a világ második legtöbb kiadást megélt könyvére, és arra, hogy mi köze van hozzá Pitagorasznak. Euklidesz bő 200 évvel Pitagorasz után élt, időszámításunk előtt 300 táján, és bár Athénban tanult, főként Egyiptomban, Alexandriában élt és alkotott. És hogy mit keresett ő görögként Egyiptomban egész életében? Nos, Egyiptom akkor épp egy görög királyság volt, amelyet Nagy Sándor egyik testőre, Ptolemaiosz alapított miután Indiába menet beugrottak elfoglalni Egyiptomot, ha már egyszer nem nagy kitérő. Alexandria, a Nílus parti kikötőváros pedig a tudomány fellegvárának számított, ugyanis az volt a szabály, hogy senki semmilyen papirusztekercset nem vihet át Alexandrián, anélkül, hogy a helyi könyvtár le ne másolná azt. A legokosabb vám valaha! És mivel Alexandriában volt egy nagyon nagy világítótorony, ami az ókori világ 7 csodája közé tartozott, (később elpusztult egy földrengésben), elég sok hajó vette arra az irányt. Alexandria úgy csalogatott magához mindenféle tudást, mint éjjeli lámpa a molylepkét. Visszatérve Euklideszhez, ő arról lett híres, hogy az ő nevéhez fűződik az Elemek című könyvsorozat, amely főként geometriáról szól. Mi az érdekes egy 2300 éves geometria könyvben? Nos, amellett, hogy a Biblia után ez a második legtöbb kiadást megélt könyv, gyakorlatilag ez az első olyan matematikai munka és elmélet, amely pont olyan, mint azóta minden más matematikai munka és elmélet: axiómákra épül, amelyeket igazaknak feltételez, és aztán ezekből vezet le bonyolultabb állításokat, amelyeknek igaznak kell lenniük, ha az axiómák igazak. Ez a módszer minden mai mérnöki és természettudomány alapja. Nem túlzás tehát azt állítani, hogy minden idők legnagyobb hatású tudományos műve. Az első könyv 47-edik tétele pedig maga a Pitagorasz-tétel, és nagy a gyanú (nem az enyém, hanem nálam sokkal hozzáértőbb tudománytörténészeké), hogy az első két kötet zömét Pitagorasz tanítványaitól vette át Euklidesz, és ő csak rendszerbe szervezte és továbbfejlesztette az eredményeiket. Így aztán az Elemek könyvet valószínűleg joggal tekinthetjük Euklidesz és Pitagorasz közös munkájának, és azt is kimondhatjuk, hogy a jelenkori matematikai gondolkodás egy az egyben az ő gondolkodásukat követi, ami tényleg elég nagy világ megváltoztató hatás. Nade ez nem a Pitagorasz-tétel. Lehetséges lett volna, hogy a világunk eljusson a mai technológiai fejlettségre, anélkül, hogy bárki bármilyen néven ismerné azt az összefüggést, amelyet Pitagorasz-tételnek hívunk?

A matematika fejlődése a Pitagoraszt követő 1500 évben

Nagyjából semmi.

Miért nem fejlődött semmit a matematika a Pitagoraszt követő 1500 évben?

Nagyon-nagyon érdekes, hogy a görögök által a római hatalomátvételkor elejtett matematikai fonalat csak majdnem 1500 évvel később, az 1400as évek környékén vették fel újra. Voltak persze matematikai eredmények időközben, de nem Európában, és csak nagyon korlátozottan jutottak el ide, így nem is nagyon vettek részt a természettudományos felvilágosodásban (leszámítva az arab számokat, amelyek sztenderddé váltak). Ennek az volt az oka, hogy a rómaiak megelégedtek azzal, hogy a megszámolják a pénzüket, a provinciáikat meg a légióikat, a római számok ezen kívül másra nem is nagyon jók, majd a rómaiak bukása után jött a népvándorlás kora, amikor kisebb gondja is nagyobb volt mindenkinek annál, hogy mi van a derékszögű háromszöggel, hiszen bármikor jöhetett egy nép keletről, aki hátrafelé nyilazott le mindenkit aki az útjába került. És elértünk a sötét középkorhoz, ami egyébként egyáltalán nem volt olyan sötét mint amilyennek hisszük, csak kevesen tudtak írni és olvasni, akik igen, azok viszont átörökítették a klasszikusokat, például Euklidesz Elemek című művét, szorgosan, kézzel másolva, oldalról oldalra, legfőképp a monostorokban. És jött Gutenberg, és feltalálta a nyomtatást: ólomból öntött betű pecséteket rakunk egymás mellé, és ha bekenjünk tintával, akkor újra és újra rá lehet nyomni egy papírlapra, így nagyon sok másolatot lehet előállítani nagyon gyorsan, nagyon rugalmasan. És az egyik első könyv, ami nyomtatásba került, Euklidesz Elemek című könyve volt, amely így az 1400-1500-as évekre elérhetővé vált Európa-szerte. Így jutott el olyan rendkívüli tudósokhoz, mint Descartes, Kopernikusz, Galilei és Kepler.

A legfontosabb kérdés: hol és mikor?

A görögök nagy mesterei voltak a szögeknek meg a szerkesztéseknek, sőt, már időszámítás előtt 200 körül megsejtették, hogy a Föld gömb alakú, és a kerületét is megsaccolták úgy, hogy észrevettek egy csillagot, amely Rhodosról nézve épp csak a horizonton van, Alexandriában viszont a horizont fölött, megmérték, hogy hány fokos szögben látszik Alexandriából (7 fok), és ismerve hogy a két város távolsága 5000 stadion hossz, megsaccolták, hogy a 360 fok azaz a Föld kerülete kb. 270 000 stadion hossz. Ez elég menő, nem?

A görögök meg tudtak szerkeszteni dolgokat, meg tudták mérni azok tulajdonságait, tudtak kétszer akkorát szerkeszteni, stb., de ettől mélyebben nem tudták összekötni az algebrát és a geometriát. Miért is kell összekapcsolni őket? Nos, nagyon fontos, hogy le tudjunk írni dolgokat a maguk valójában, például háromszöget. De az a tudomány, ami a technológiai fejlődést hajtja, az arról szól, hogy meg tudjuk mondani, bizonyos körülmények között bizonyos dolgokkal mi fog történni. És azt, hogy történik valami, leginkább abból látjuk, hogy valami megváltozott, jellemzően megmozdult. Ha egy golyót teszünk egy lejtőre és elengedjük, le fog gurulni. Gyönyörködhetünk a golyóban, és kiszámolhatjuk a térfogatát, de az igazán izgalmas az a kérdés, hogy mikor fog leérni a lejtő aljára és milyen messzire gurul tovább, és úgy összességében, miért gurul? Ha ismerjük a törvényeket, amelyek a világunkban lévő történéseket, változásokat hajtják, akkor tudunk olyan gépeket építeni, amelyek ezeket a változásokat a javunkra fordítják. Ezeknek a történéseknek a leírásához azonban egy teljesen új szemléletmódra van szükség. Tudni kell, hogy valami mikor és hol van, és ha minden jól megy, ebből tudjuk majd megmondani, hogy mikor hol lesz. Az, hogy miért történik így, az maga a fizikai törvény, amit keresünk, aminek a kiderítéséhez előbb azt kell tudni beépíteni a matematikába, hogy hol és mikor? Amíg ezek nem kerülnek bele a matematikába, addig nem fogjuk tudni leírni és előre jelezni, hogy mi fog történni a körülöttünk lévő világban. És nyilvánvaló módon, ezek egyike sem jelenik meg sem a klasszikus számtanban, sem a klasszikus geometriában.

Akkor hol?

Az egyszerűség kedvért fókuszáljunk arra, hogy “hol?”.

A legtöbben valószínűleg találkoztak GPS koordinátákkal, és úgy általában koordinátákkal. Egy GPS koordinátapár igazából két szám, egy szélesség és egy hosszúság. A szélesség azt adja meg, hogy melyik szélességi körön vagyunk, azaz az Egyenlítőtől mennyire északra vagy délre, és az is, hogy a hosszúsági főkörtől milyen messze vagyunk keletre, vagy nyugatra. Ennek a két számnak az ismeretében pontosan tudhatjuk, hogy hol vagyunk.

Ez persze senkit sem lep meg, a geometria és oktatása is rengeteget fejlődött, és a mai korban már nagyon korán elkezdenek érzékenyíteni bennünket a derékszögű koordinátarendszerre a négyzetrácsos füzet formájában, és napi szinten jönnek szembe járvány grafikonok, amelyek derékszögű koordinátarendszerek, vízszintesen, hogy melyik nap van, függőlegesen, hogy hány új eset volt. De bármilyen hihetetlen, a görögök nem gondolkodtak derékszögű koordinátákban. 

A koordinátarendszert a ma ismert formájában a francia filozófus és matematikus Descartes találta ki, és igazság szerint egy igazán forradalmi gondolat, ami igazából két fő részből áll. Az első, hogy egy dolgot nem egy, hanem kettő (vagy esetleg több) számmal jellemzünk, például a négyzetrácsos füzet lapján meg kell adnunk, hogy az origótól hányat kell jobbra lépnünk és hányt felfelé, hogy eljussunk a kívánt ponthoz. Tehát a pontot két szám jellemezheti, egy számmal nem tudjuk megmondani, hogy hol van a pont. Mondhatjuk persze, hogy ez azért nem teljesen így van, hiszen egy háromszöget jellemezhetünk úgy, hogy milyen hosszú a három oldala, ami három szám. Viszont, itt jön a forradalmi gondolat második eleme: a koordinátákkal van értelme műveleteket végezni, például ha egy koordinátához hozzáadunk egyet, akkor az továbbra is egy teljesen valid koordináta marad. Ha azonban egy derékszögű háromszög egyik oldalának a hosszához adunk egyet, az sem biztos, hogy létezik egyáltalán olyan háromszög, de hogy nem derékszögű lesz, az biztos. Összefoglalva a koordinátarendszer nagyszerűsége abban áll, hogy egyetlen dolgot több számmal jellemzünk (a konkrét példában a sík pontjait vagy a négyzetrácsos füzet celláinak a pontos helyét), és ezekkel tudunk műveleteket végezni. Azaz Descartes a koordinátarendszeren keresztül bevezetett egy rendkívül fontos matematikai koncepciót: a vektort.

A Pitagorasz-tétel adja két pont távolságát

Descartes nyomán le tudjuk írni koordinátákkal, hogy dolgok hol vannak. Ez szuper. Hiányzik azonban még egy utolsó elem a puzzle-ből. A koordinátarendszerrel nem sokra mennénk, ha nem tudnánk megmondani, hogy két dolog milyen messze van egymástól, azaz két dolog koordinátáiból meg kellene tudnunk mondani a távolságukat. Meg tudjuk? Meg! Mégpedig éppen a Pitagorasz-tétellel. Az ábrára pillantva rögtön látható, hogy a két pont távolsága mindig egy olyan derékszögű háromszög átfogója, amelynek két befogója éppen a koordináták különbsége. A Pitagorasz-tétel adja a távolságot a derékszögű koordinátarendszerben.

Távolság fogalom és képlet nélkül nem nagyon van modern tudomány 

Azt hiszem bátran kimondhatjuk, hogy ha a Pitagorasz-tétellel nem tudnánk távolságot számolni, akkor a klasszikus mechanika és elektromágnesesség elméletek nem fejlődhettek volna ki, ezek ugyanis esszenciálisan építenek arra, hogy két test, vagy éppen töltés hol van, és mennyi a távolságuk. Talán túlzás lenne azt állítani, hogy az időszámítás előtti 3. század szintjén lennénk, ugyanis nagyon sok mindent experimentálisan, mögöttes elméletek nélkül is megtanulhatunk alkalmazni, viszont a tapasztalati törvényeket nagyon nehéz lenne kezelhető formában összegyűjteni, átadni, felhasználni, így nagyon összetett mechanikus gépeink nem valószínű, hogy lennének, az elektronika, amelyet csak közvetve láthatunk, valószínűleg megmaradt volna cirkuszi mutatványnak.

Irracionális számok

Még nincs vége! Pitagorasz előtt a görögök úgy hitték, hogy bármelyik szám felírható két másik, egész szám hányadosaként, azaz minden szám racionális. Maga az elnevezés is a görögöktől származik, hiszen a ratio azt jelenti, hányados. Például a 0.333333333, amit néha láthatunk a zsebszámológépen, igaz, hogy egy végtelen tizedes tört, de igazából 1 osztva 3-mal, tehát két egész szám hányadosa. A Pitagorasz-tétel vezette rá őket, hogy egy 1 egység oldalú négyzetnek az átlója, ami egy derékszögű háromszög átfogója, az négyzetgyök kettő hosszúságú, amit sehogy sem lehet leírni két egész szám hányadosaként. A legenda szerint ezt a felfedezést Pitagorasz el akarta titkolni, nehogy megtudja a társadalom, hogy léteznek nem racionális számok, mert elszabadulna a pokol, de egyik tanítványa, egy Hippasus nevű manus kikotyogta, akit ezért megölték! 

Tehát a valós számok megsejtése, az, hogy nem minden szám racionális, aminek szintén elég nagy hatása volt a matematikára, az szintén a Pitagorasz-mondakörhöz köthető. Egyébként mint kiderült, a 2 négyzetgyökét Pitagorasz-számnak is hívják.

A Pitagorasz-tétel a kerék, és szó szerint

Utolsó érdekességként, csak a tökéletes párhuzam miatt, tegyük fel most úgy a kérdést, hogy mi jön ki abból, ha az összes olyan pontra vagyunk kíváncsiak, amelyeknek a távolsága az origótól 1? Nem nehéz kitalálni, hogy ezek egy kört alkotnak. Ha mindezt egy zsinórral kellene kihozni, akkor leverünk egy karót, azt mondjuk, hogy ez az origó, hozzáköt egy 1 méter hosszú zsinórt, megfeszíti, és az 1 méter távolságra van. És ha körbemegyünk, akkor minden pont, amely fölött a zsinór vége áthaladt, 1 méter távolságra lesz, ami pont egy kört alkot. Matematikailag ezt úgy írhatjuk le, hogy ezek azok az x és y pontok, amelyekre az origótól vett távolság értéke 1, ezek alkotják a kört, és ez a formalizmus a kör egyenlete. 

Azaz, a Pitagorasz-tétel maga a kör egyenlete. A Pitagorasz-tétel az absztrakt, matematikai kerék. És felfedezése sem kisebb jelentőségű, mint a kerék feltalálása. 

Nem kell mindenkinek ismerni a Pitagorasz-tételt, lehet teljes életet élni nélküle, viszont ha senki sem ismerné nagyon-nagyon más lenne a világunk.